Freitag, 14. Oktober 2016

Metalogik: QS-Definitionen und QS-Theoreme von PL.

Metalogik: QS-Definitionen und QS-Theoreme von PL.

Die substitutive Interpretation der Quantoren, die auch zuweilen informell genannt wird, setzt einen nicht selbst definierten Wahrheitsbegriff für nicht quantifizierte Sätze mit Namen, Individuenkonstanten voraus, durch die Wahrheit und Falschheit für quantifizierte Sätze durch Substitution bestimmt werden.
Sie unterscheidet sich damit von einer formalistischen Semantik der Quantoren, die auch auf Grammatiken, die nur Individuenvariable und keine Namen zulassen und vom Begriff der Erfüllbarkeit ausgeht, Man spricht hier auch von der objektualen und objektiven Interpretation der Quantoren.

Eine Interpretation I wählt (a) ein Universum U aus, ordnet (b) den Termen t-Elemente aus U und (c) jedem n-stelligen Prädikat eine gegebenenfalls leere Menge von n-Tupeln von Elementen zu. Atomare Sätze der Form:

φ t1, t2 …tn                                                                     ti = tj oder tj ≠ tj  

Atomare Sätze sind = 1 gdw. < I (t1), I (t2), …I (tn) > Elemente der von φ aus U ausgewählten Menge von n-Tuplen ist. Die Wahrheitsbedingungen für Sätze, die durch Satzkonnektive gebildet werden, werden wie in AL festgelegt. Die Definition der Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze werden quantensemantische Definitionen (QS-D) genannt. Es sind:

QS-D 1                      (Ɐx) φx = 1    gdw    φt = 1 für jedes t
QS-D 2                      (Ɐx) φx = 0    gdw    φt = 0 für mindestens ein t
QS-D 3                      (Ǝx) φx = 1    gdw    φt = 1 für mindestens ein t
QS-D 4                      (Ǝx) φx = 0    gdw    φt = 0 für alle t

Aus diesem QS-D lassen sich, zuweilen auch unter Rückgriff auf die WFT, die quantensemantischen Theoreme beweisen. Sie werden kurz als QS-Th bezeichnet.

QS-Th 1                    – (Ɐx) φx I-I (Ǝx) – φx
QS-Th 2                    – (Ǝx) φx I-I (Ɐx) – φx
QS-Th 3                    – (Ɐx) – φx I-I (Ǝx)φx
QS-Th 4                    – (Ǝx) – φx I-I (Ɐx)φx
QS-Th 5                    I sei eine Interpretation, unter der jedem Element von U ein Term                          t zugeordnet ist: Wenn jede Einsetzung von (Ɐx) φx = 1 unter I
                                    Ist, dann ist I ((Ɐx) φx) = 1.
QS-Th 6                    I sei eine Interpretation, unter der jedem Element aus U ein Term
                                    t zugeordnet ist: Wenn jede Einsetzungsinstanz von (Ǝx)φx
                                    unter dieser I = 0, dann I ((Ǝ x) φx) = 0.
QS-Th 7                    Wenn ¬ =I Γ U {(Ǝx) φx} und t kommt in Γ U {(Ǝx) φx} nicht vor,
                                    dann ¬ =I Γ U {(Ǝx) φx, φt}.
QS-Th 8                    I sei eine Interpretation, unter der für jedes Element von U gilt
a.    Es gibt einen Term t, dem das Element zugeordnet ist.
b.     φt = 1 unter I.
Gelten a und b, dann gilt für die Generalisierung (Ɐx)φx = 1.
QS-Th 9                    {(Ɐx)φx} I= alle Einsetzungen φt von (Ɐx)φx.
QS-Th 10                  Ist φt eine Einsetzung von (Ǝx) φx, dann {φt} I= (Ǝx) φx
QS-Th 11                  Wenn Γ I= φt, dann Γ I= (Ɐx)φx, vorausgesetzt t kommt nicht in
                                    irgendeinem anderen Element von Γ und auch nicht in (Ɐx)φx
                                    vor.
QS-Th 12                  Wenn Γ I= (Ǝx)φx und Γ U {φt I= Q, dann Γ I= Q, vorausgesetzt,
                                    dass t nicht in Γ, Q und (Ǝx)φx vorkommt.



Veröffentlicht von Lilith Dan 

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