Samstag, 1. Oktober 2016

Metalogik.

Metalogik.

Metalogik als Teilgebiet der Metatheorie der Logik beschäftigt sich mit den Fragen nach den logischen Eigenschaften und Relationen, die Sätzen aufgrund ihrer äußeren logischen Verknüpfung oder aufgrund der inneren Struktur zukommen.
Die Aufgabe der logischen Theorie ist es, Verfahren zu entwickeln, die feststellen, ob solche Eigenschaften und Relationen vorliegen oder nicht.

Metatheorie allgemein ist die Theorie, in der über die logische Theorie reflektiert wird. Die Sprache, in der die metatheoretischen Erwägungen vorgenommen werden, ist eine Metasprache.
Die Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe ist eine reine Objektsprache, d. h., es können in ihr keine Aussagen über ihre Aussagen formuliert werden.
Solche Sprachen werden seit Tarski auch offene Sprachen genannt.
Sprachen, die Aussagen über Aussagen zulassen, werden geschlossene Sprachen genannt.
Die Umgangssprache ist eine geschlossene Sprache.
Die Sprache der Metatheorie kann offen sein.
Ist sie offen, dann muss, um über Metasprachen von Metatheorie allgemein sprechen zu können, eine Hierarchie von Metasprachen konstruiert werden.
Ist sie geschlossen, dann ist das nicht nötig.
Sie wird geschlossen sein, wenn ihre sprachlichen Ausdrücke auch auf ihre eigenen Ausdrücke selbst bezogen werden können. Für diesen Zweck kann, muss aber nicht, auf die Umgangssprache zurückgegriffen werden.
Eine geschlossene Sprache kann auch eine voll formalisierte Sprache sein.
Keinesfalls gilt die oft gehörte These: Die letzte Metasprache ist die Umgangssprache.
Das zu behaupten ist falsch.

In der Metatheorie gibt es verschiedene Gebiete. Einerseits kann ohne Unterstützung von Einzelwissenschaften, wie z. B. Psychologie, Soziologie, Biologie u. a., philosophisch reflektierend auf Logik eingegangen werden.
Fragen solcher Reflexion sind u. a. die besondere Natur der Gegenstände der Logik. Sie können ideale Gegenstände sein, sprachliche oder bloß psychische Entitäten, die Genese der Logik aus und in der Umgangssprache, der vorsprachliche Bereich usw.
Eine wichtige Frage ist die nach dem Verhältnis von Logik und Mathematik, d. h. von der Logik und Mengenlehre als der Grundlage der Mathematik.
Sie kann nur durch einen Vergleich der formalisierten Systeme der Logik und der Mengenlehre sinnvoll beantwortet werden
Alle diese nicht vollständigen Fragen gehören in den Bereich der Metatheorie der Logik, auch als ‚Philosophie der Logik‘ bezeichnet. Die Sprache solcher Reflexionen ist immer eine mit philosophischer oder einzelwissenschaftlicher Terminologie angereicherten Umgangssprache.

Metalogische Untersuchungen im engeren Sinne beschäftigen sich mit den Methoden, dem Instrumentarium formalisierter logischer Theorien.
Ein erster Bereich dieses Gebietes ist die rein logische Grammatik. Bei der Einführung in die logische Theorie ist es notwendig, metasprachliche Regeln für die grammatische Struktur der Sprache festzulegen. Diese Regeln bestimmen, welche Zeichenmenge zugrunde gelegt werden und welche Zeichenfolgen grammatisch wohlgeformt sind.
Entscheidend ist die Forderung, dass eine rein logische Grammatik desambiguiert ist, d. h, dass eine grammatische Analyse im Ausgang von einer Stufe der Komplexität immer auf Ausdrücke der Komplexitätsstufe n-1 bis hin zu nicht mehr weiter auflösbaren atomaren Ausdrücken zurückgeführt werden kann.
Die Umgangssprache erfüllt diese Forderung nicht.
Deshalb muss sich eine logische Theorie einer formalisierten Sprache bedienen.

Der Bereich der Metalogik im engeren Sinne beschäftigt sich mit der Frage, ob die in der formalisierten Logik entwickelten Methoden, die logischen Eigenschaften und Relationen von Sätzen und Satzmengen eindeutig festzustellen, gerecht werden. Sie beschäftigt sich auch mit dem Vergleich der verschiedenen Methoden und verschieden gewählter Voraussetzungen für diese Methoden.

Um was es geht, kann anhand der theoretischen Untersuchungen beschrieben werden, in denen der moderne Begriff des axiomatischen Systems in der Geometrie und der Mathematik im 19. und zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt wurde.
Diese Bemühungen standen bis hin zu Hilbert und Frege im unmittelbaren Zusammenhang mit der Entwicklung der modernen formalisierten Logik.
Solange die formalisierte Logik nur in Gestalt von Axiomensystemen entwickelt wurde, konnte man sich Metalogik als bloßer Spezialfall der auf axiomatische Systeme allgemein zu beziehenden Fragen verstanden werden.
Historisch ergab sich diese allgemeine Fragestellung zunächst aus Fragen, die man an geometrische Axiomensysteme in formalisierter Hinsicht stellen kann.
‚Formalistisch‘ bedeutet hier, dass man das Axiomensystem als ein System uninterpretierter Sätze betrachtet, d. h. als ein System von Ausdrücken, denen keine Interpretation, kein Modell, zugeordnet ist.
Das Axiomensystem der Aussagenlogik kann z. B. rein formalistisch als uninterpretierbares System betrachtet werden, das verschiedene Interpretationen zulässt, nämlich als Aussagenlogik, als Teil einer Boolschen Mengenalgebra und als Schaltalgebra.
Diese Abstraktion hatte zunächst für die Geometrie Bedeutung, da man hier, etwa durch Modifikation im euklidischen Axiomensystem, Geometrien entwickeln konnte, die zunächst uninterpretiert blieben, d. h. ihnen wurden keine anschaulichen Räume zugeordnet.
Hat man ein solch formalistisches System, das aus Axiom A1 bis An besteht und eine Reihe von abgeleiteten Theoremen T, dann lässt sich fragen:

(1) Lässt sich mit den Mitteln der auf die Axiome bezogenen Logik, d. h. der Ableitungsregeln zeigen, dass, wenn Ti ableitbar ist, dann nicht -Ti und umgekehrt, so dass niemals Ti & -Ti?
Ist das der Fall, dann ist das System widerspruchsfrei.
(2) Lassen sich für alle Sätze, die Theoreme sind, Beweise finden und für alle, die es nicht sind, ein Beweis dafür, dass -T?
Mit anderen Worten ist das System vollständig oder nicht vollständig. Können beide Fragen mit ‚ja‘ beantwortet werden, so spricht man von starker Vollständigkeit. Lässt sich nur angeben, dass für jedes Theorem T ein Beweis gefunden werden kann, dass das aber nicht für -T gilt, d. h., dass nicht in jedem Falle ein Beweis dafür vorgelegt werden kann, dass ein Ausdruck kein Theorem ist, dann spricht man von schwacher Vollständigkeit.
(3) Es kann gefragt werden, ob die Axiome A1 bis An unabhängig voneinander sind, d. h., ob jedes beliebige Ai, i aus 1 – n, aus den anderen ableitbar ist oder nicht. Ist es nicht ableitbar, dann ist es unabhängig.

Diese Fragen können durch Angabe eines Modells, einer Interpretation, beantwortet werden. Beide Begriffe sind wegen der Entwicklung, die zu ihrer Formalisierung führt, mehrdeutig. Die ursprüngliche Deutung ist anschaulich. Sie ergibt sich aus Geometrien.
Hat man eine beliebige nichteuklidische Geometrie, dann hat man ein Modell für sie, wenn irgendeine gekrümmte Fläche, etwa die Kugeloberfläche, angegeben werden kann, in der alle ihre Theoreme wahr sind.
Damit wäre (1) und (2) anschaulich bewahrheitet, aber auch (3) kann so betrachtet werden, denn wenn gilt, dass Ai nicht unabhängig ist, d. h., dass {A1…An} l- Ai, dann müsste {A1…- Ai …An} widersprüchlich sein und kann im Modell nicht wahr sein.

Anschaulichkeit ist nicht überall gegeben. Ist sie nicht gegeben, dann bleiben noch Teilgebiete deduktiven Erkennens, in denen eine Methode zur Verfügung steht, bei der unmittelbar klar ist, dass Widerspruchsfreiheit und starke Vollständigkeit durch sie erreicht werden kann. Eine Methode kann algorithmisch sein.
Allgemein betrachtet ist ein Algorithmus ein mechanisches Verfahren, für das bewiesen werden kann, dass es nach einer endlichen Reihe von Schriften auf die Frage nach dem Vorliegen einer bestimmten Eigenschaft für einen bestimmten Bereich von Gegenständen immer die Antwort ‚ja‘ oder die Antwort ‚nein‘, aber niemals beide zusammen und immer eine von beiden geben wird.
Solche Verfahren werden auch ‚Entscheidungsverfahren‘ genannt. Dieser Begriff von Algorithmus und vom mechanischen Verfahren ist in gewissem Sinne intuitiv vorgegeben.
Was für viele Algorithmen hinzugefügt werden kann, ist, dass sie nicht nur über Regeln, sondern auch höherstufig über gegebenfalls auch konventionell festzulegende Regeln über die Reihenfolge der Anwendung der Regeln erster Stufe verfügen.

(1) Die Frage nach der Widerspruchsfreiheit von axiomatischen Systemen ist keinesfalls mit der zur Philosophie der Logik zu verwechseln.
Die Frage der Metalogik im engsten Sinne gehört in den Bereich der Frage nach der Widerspruchslosigkeit formaler Systeme. In diesem Bereich stellt sie die noch speziellere Frage: Wird eine gewählte Methode der formalisierten Logik die Fragen nach dem Vorliegen von logischen Eigenschaften und Relationen niemals mit ‚ja‘ und mit ‚nein‘ beantworten? Ist die Antwort auf diese Frage ‚ja‘, dann ist die gewählte Methode widerspruchsfrei.
Im Bereich der rein logischen Grammatik stellt sich die Frage nach der Widerspruchsfreiheit in ganz anderer Weise. Bereits auf der Ebene der Objektsprache werden in der höheren Prädikatenlogik Widersprüche ableitbar, wenn nicht bestimmte, die Grammatik der Sprache PL höherer Stufe betreffende Restriktionen eingeführt werden. Es handelt sich um die bekannten sogenannten logischen Antinomien und Paradoxien. Es handelt sich aber auch um mögliche Beweise, nicht nur der starken oder schwachen Vollständigkeit, sondern der sogar schwachen Unvollständigkeit der höheren Prädikatenlogik.

(2) Die Begriffe ‚Modell‘ und ‚Interpretation‘ werden bei der Frage nach der Vollständigkeit, wenn Entscheidungsverfahren, Algorithmen nicht mehr zur Verfügung stehen, unentbehrlich werden.
Es handelt sich dabei um keine anschaulichen Modelle. Nun bieten semantische formalisierte Systeme den Begriff der Interpretation bereits in der Aussagenlogik und auf der Ebene der Prädikatenlogik erster Stufe. Mit der Hilfe dieses Begriffes werden dort auch die Begriffe ‚wahr‘, ‚logisch falsch‘ und alle weiteren logischen Eigenschaften und Relationen definiert.
Weiter zeigt sich, dass gerade semantische Methoden unmittelbar Entscheidungsverfahren ermöglichen und dass sich dabei intuitiv zeigen lässt, wo solche Verfahren im Verzweigungsverfahren, angewandt auf die Prädikatenlogik erster Stufe, bei der Suche nach starker Vollständigkeit ihre Grenzen haben können.

Es ist insbesondere in der angelsächsischen formalisierten Logik üblich, dass die zweiwertige wahrheitswertfunktionale Aussagenlogik ein semantisches Modell sei.
Auf der anderen Seite sagt man, dass ein Satz oder eine Satzmenge ein Modell habe und versteht darunter, dass die Satzmenge eine Interpretation, d. h. eine Bewertung ihrer atomaren Komponenten mit 0/1 habe, die sie wahrmacht und damit Konsistenz zeigt.
Ein semantisches Modell im ersten Sinne ist in dieser Terminologie eigentlich eine Klasse möglicher Modelle für konsistente Sätze. Das semantische Modell wird in der deutschen Literatur u. a. bei Stegmüller/Kibed als Struktur bezeichnet. Eine Struktur ist demnach eine Klasse möglicher Modelle.
Hat ein Satz oder eine Satzmenge ein Modell, wird oft gesagt, der Satz sei in einem bestimmten semantischen Modell ‚wahr‘, aber auch, er sei ‚gültig’ oder ‚erfüllbar‘.
Die ersten beiden Redeweisen sind nicht kompatibel mit der Terminologie, die üblicherweise in der elementaren formalisierten Logik verwendet wird. Hier bezeichnet man mit ‚gültig‘ eine logische Implikation und logische Wahrheiten. Sagt man aber metalogisch, ein Satz sei ‚gültig‘, weil er ein Modell hat, so ist gemeint, dass er eine Interpretation hat, die ihn wahrmacht: Unter den vielen möglichen Interpretationen gibt es eine, die ihn wahrmacht. Das besagt nicht, dass er schlechthin was in der Welt ‚der Fall ist‘, wahr ist. Es genügt, dass er in irgendeinem Kontext, der nicht zu unserer Welt gehört, wahr sein kann.
Die Metalogik hat es nicht nur mit einem System und seiner Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit zu tun, sondern auch mit dem Vergleich von Systemen.

In der elementaren Logik wird intuitiv einsichtig, dass das Entscheidungsverfahren der Verzweigungsmethode bei der Frage, ob eine Satzmenge konsistent sei, nicht gestattet, eine Antwort rein mechanisch durch einen Algorithmus zu gewinnen.
Man wird also den Bereich der Logik, in dem Entscheidungsverfahren möglich sind, von ihm abtrennen müssen, in dem das nicht mehr der Fall ist. In diesem Bereich können die Beweise der Metalogik mit den logischen Mitteln von PL erster Stufe in ND geführt werden.
Im höherstufigen Bereich wird es nötig sein, Beweise in Form mathematischer Induktion zu führen. Um dieses Verfahren anzuwenden, wird dort, wo sich diese Beweisform auf keine aufzählbaren Schritte im Verfahren der Logik selbst beziehen kann, Aufzählbarkeit durch Gödelisierung von Formeln nötig sein.
Schon die bloße formale Darstellung der Struktur mathematischer Induktionsbeweise lässt sich in der Sprache der PL erster Stufe nur eingeschränkt darstellen. Ihre vollständige Darstellung setzt die Sprache PL zweiter Stufe voraus.
Man kann den Bereich der Metalogik, in dem Theoreme ohne Induktion bewiesen werden können, den Bereich der elementaren Metalogik nennen.


Veröffentlicht von Lilith Dan 

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