Montag, 17. Oktober 2016

Metalogik mit mathematischer Induktion. Allgemeines zur Methode der Metalogik.

Metalogik mit mathematischer Induktion.
Allgemeines zur Methode der Metalogik.

Die Methode der Metalogik bedient sich zunächst einmal der Methoden der ableitungssyntaktischen Regeln der Logik, d. h., der Schlussregeln der natürlichen Deduktion.
Damit kann schon viel entschieden werden, jedoch nicht alles, vor allem nicht die Frage nach Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit.
Hier ist ein mathematisches Beweisverfahren hinzuzuziehen: die mathematische Induktion. Mathematische Induktion kann auf eine Menge von Elementen angewendet werden, die durch die Nachfolgerrelation geordnet sind, d. h, es gibt ein erstes Element der Folge und für jedes Element eines und nur eines, das ihm unmittelbar folgt.
Was bewiesen wird ist, dass eine Eigenschaft E allen Elementen der Menge zukommt. Die Schlussform hat zwei Stufen:

1. Basis:                                            Es ist zu beweisen, dass das erste Element der
                                                           Folge die Eigenschaft E hat.
2. Induktion
a. Induktive Hypothese:                 Es wird angenommen, dass E einem Element an
                                                           k-ter Stelle – k ist beliebig – zukommt.
b. Induktionsschritt:                        Es ist zu beweisen, dass E unter der durch die ICH
                                                           eingeführten Bedingung auch dem k+1 Element
                                                           zukommt.

Konklusion:                                      E kommt allen Elementen der Folge zu.

Mathematische Induktion als Beweisform hat ihre Rechtfertigung durch das Axiom von Peano. Dieses Axiom selbst kann in der PL erster Stufe nicht ausgedrückt werden. Es kann nur durch eine Formel der PL zweiter Stufe repräsentiert werden.

Will man dieses Beweisverfahren, wie das in der Metalogik der Fall ist, auf andere Mengen als auf Zahlen anwenden, so muss zunächst sichergestellt werden, dass sich die Elemente von Satzmengen in eine Ordnung bringen lassen, die sie so abzählbar macht, dass jedem k eine und nur eine natürliche ganze Zahl zugeordnet ist.
Im folgenden Beispiel, das der Grammatik der AL entnommen ist, ergibt sich unmittelbar aus den grammatischen Konstruktionsregeln für gwf-Sätze, dass sie so geordnet werden können, dass einer Stufe k grammatischer Komplexion eine und nur eine Stufe k+1 folgen kann, wobei es durchaus zulässig ist, dass hier mehrere Fälle zu unterscheiden sind. Eine solche abzählbare Ordnung der Satzkomponenten ergibt sich, wenn einer gegebenen grammatischen Verzweigung und der Konvention ‚links vor rechts‘ folgende, eine Auflistung der Komponenten vorgenommen wird.

Das triviale Theorem sei: die Anzahl der Klammern in einer gwf Formel ist immer durch 2 ohne Rest teilbar (die Basis schließt den Fall 0 ein).

Basis: Es handelt sich um einen atomaren Satz. Nach den Konstruktionsregeln ist die Anzahl der Klammern 0, also durch 2 teilbar.

Induktive Hypothesis: Auf der Stufe k der grammatischen Zusammensetzung sei die Anzahl der Klammern durch 2 teilbar.

Induktionsschritt: Unter Voraussetzung der ICH gilt, dass die Anzahl der Klammern auch auf der Stufe k+1 durch 2 teilbar ist.

Das ist nun zu beweise; Wir haben zwei Fälle an der Hand, von denen der zweite in vier Unterfälle zu gliedern ist, die aber nicht jeder für sich betrachtet werden müssen, da sie die für den Beweis entscheidende Eigenschaft gemeinsam haben.

Fall I. Die Stufe k+1 grammatischer Komplexität wird durch Hinzutreten von ‚-‘ erreicht. Nach Konstruktionsregeln werden damit keine neuen Klammern eingeführt. Die in k als erfüllt angenommene Bedingung bleibt damit für k+1 erhalten.

Fall II. Unterfällte sind die mit ‚&‘ oder ‚v‘ oder ‚‘ oder ‚Ξ‘ angefügten Sätze. Die Konstruktionsregel schreibt vor, dass 2 neue Klammern hinzuzufügen sind. Eine Zahl aber entsteht, wenn zu einer durch zwei teilbaren Zahl 2 addiert wird, durch 2 teilbar bleibt.

Also: Für alle Formeln der AL gilt: die Anzahl der Klammern ist durch 2 teilbar.

Es ist zu beachten, dass die generelle, auf Fälle bezugnehmende Schlussform die des konstruktiven Dilemmas ist:

A v B
A C
B C             -> C

die der Regel vE IN entspricht.

Weiter ist anzumerken, dass sich im angegebenen Beispiel die Formeln AL bereits durch die grammatischen Regeln selbst in eine abzählbare Folge bringen lassen. Das ist aber z. B. bei der ‚Menge aller gwf Formeln von AL‘ nicht der Fall. Hier wird ein Verfahren angewandt, das ‚Gödelisierung‘ genannt wird.
Es besteht darin, dass man jedem Zeichen einschließlich der Klammern eine Zahl zuordnet, so dass sich einer Formel eine und nur eine für sie charakteristische Zahl zuordnen lässt. Dann sind die Formeln, gemäß der Ordnung nach größer oder kleiner der für sie charakteristischen Zahlen in eine Folge gebracht, die von der Nachfolgerrelation bestimmt ist. Das kann auf verschiede Weise geschehen. Wichtig ist lediglich, dass die Möglichkeit, die Formeln in eine solche Folge zu bringen, gezeigt wird.
Das Verfahren von Gödel ist besonders komplex, weil es für ihn noch weitere Aufgaben zu erfüllen hatte.
Man bezieht sich allgemein mit ‚Gödelisierung‘ nicht auf sein Verfahren, sondern auf alle Möglichkeiten, durch Zuordnung von Zahlen Formeln in die gewünschte für die Anwendung mathematischer Induktion nötige Folge zu bringen.

Veröffentlicht von Lilith Dan 


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