Sonntag, 9. Oktober 2016

Metalogik: Elementare semantische Metatheoreme. Notation.

Metalogik: Elementare semantische Metatheoreme. Notation.


Es wird folgende Notation für die Metalogik vereinbart:

B ist semantisch 1-wahr                                                    I= B
B ist nicht semantisch 1-wahr                                          ¬ I= B
B ist semantisch 1-falsch                                                  =I B
B ist nicht semantisch 1-falsch                                        ¬ =I B
Γ 1-impliziert B semantisch                                               Γ I= B
Γ 1-impliziert B semantisch nicht                                     ¬ (Γ I= B)
Vereinigung von Γ mit B                                                    Γ U {B}
A, B sind semantisch 1-äquivalent                                  A I=I B
A, B sind nicht semantisch 1-äquivalent                        ¬ A I=I B

Anzumerken ist, dass auch mengentheoretische Notation übernommen wird. Mengen sind aber immer als Satzmengen zu verstehen, d. h., sie sind Konjunktionen von Sätzen.
Anzumerken ist weiter, dass das Zeichen ‚I=‘ in Verbindung mit Σ, d. h mit ‚Σ I=‘ eine abweichende Bedeutung erhält. ‚Σ ‘ soll ein semantisches Modell bezeichnen. Der Ausdruck ‚Σ I= B‘ besagt dann, dass der Satz B in Σ ein Modell hat, d. h. in ihm erfüllbar ist.


WF-Definitionen AL

WF-Definitionen der AL für logische Eigenschaften und Relationen sind:

WFD. 1 I= A                                                 gdw. A = 1 für alle I
WFD. 2 =I A                                                 gdw. A = 0 für alle I
WFD. 3 ¬ I= A                                             gdw. A = 0 für mindestens eine I
              und ¬ =I A                                      und A = 1 mindestens eine I
WFD. 4 =I Γ                                                 gdw. Γ = 0 für alle I
WFD. 5 ¬ =I Γ                                              gdw. Γ= 1 für mindestens eine I
WFD. 6 Γ I=B                                               gdw. Γ B = 1 für alle I
WFD. 7 A I=I B                                            gdw. B = 1 für alle I, für die A = 1 und
                                                                       B = 0 für alle I, für die A = 0
WFD. 8 =I Γ                                                 gdw. es gibt kein I, so dass alle Elemente
                                                                       Aus Γ = 1
WFD. 9 ¬ =I Γ                                              gdw. es gibt mindestens ein I, so dass alle
                                                                       Elemente aus Γ = 1
WFD. 10 Γ I= B                                           gdw. Γ = 1 und B = 0 für keine I.

WFD 8 – 10 sind aus den entsprechenden Grunddefinitionen ableitbar.


WF-Theoreme der AL

Das Beweismaterial für die i. F. aufgeführten Theoreme sind (1) die wahrheitswertfunktionale Definition der Konnektive und grammatischen Konventionen und (2) die soeben angegebenen WDF.

Grundlegende Theoreme

Theoreme über 1-wahre, 1-falsche und 1-indeterminierte Sätze

1          I= A                                                    gdw =I – A
2          =I A                                                    gdw I= – A
3          ¬ I= A
            und ¬ =I A                                         gdw ¬ I= – A und ¬ =I – A
4          I= B                                                    gdw für alle Γ, =I Γ, ¬ =I Γ: I= B
                                                                       und für alle A, – A, I= A, =I A: I= B
5          I= B                                                    gdw B I= alle I= A und nur alle I= A
6          =I A                                                    gdw A I= alle Sätze der Form: B, – B, I= B,
                                                                       =I B, d. h. jeden Satz und alle Γ, sei es, dass 
                                                                       =I Γ oder ¬ =I Γ.

Theoreme über inkonsistente Satzmengen

7          =I Γ                                                    gdw Γ I= alle Sätze der Form: B, - B. =I B.,
                                                                       d. h. jeden Satz und jedes Δ, sei es, dass
                                                                       =I Δ oder ¬ =I Δ
8          =I                                                       gdw Γ I= B & - B
9          =I Γ                                                    gdw Ai ϵ Γ, dann Γ I= - Ai  

Theoreme über L-Implikation

10       Γ I= B                                     gdw I= Γ B
11       Γ I= B                                     gdw =I Γ U {-B}
12       Γ I= - B                                   gdw =I Γ U {B}

Theoreme über L-Äquivalenz

13       A I=I B                                               gdw I= A ≡ B
14       A I=I B                                               A I= B und B I= A
15       A I=I B                                               wenn I= A und I= B
16       A I=I B                                               wenn =I A und =I B

Theoreme 1-16 sind nützlich für die Konstruktion verkürzter Wahrheitswerttafeln und für die Verwendung des Verzweigungsverfahrens, weil sie die Definitionen angeben, mit deren Hilfe andere 1-Eigenschaften und 1-Relationen durch Inkonsistenz und Konsistenz definiert werden können. Die Beweise für die Theoreme 1-16 sollten geläufig sein, bevor man sich den folgenden Theoremen zuwendet, die nun in der Metatheorie selbst Verwendung finden werden.

Wichtige Theoreme für die Metalogik
Weitere WFT über 1-Implikationen

17       Wenn Γ I= A und Γ I= B, dann Γ I= A & B                                              (&E)
18       Wenn Γ I= A & B, dann Γ I= A und Γ I= B                                              (&B)
19       Wenn Γ U {A} I= B und Γ U {A} I= - B, dann Γ I= - A                            (– E)
20       Wenn Γ I= – – B, dann Γ I= B                                                                  (– B)
21       Wenn Γ U {A} I= B, dann Γ I= (A B)                                                     (E)
22       Wenn Γ I= A B und Γ I= A, dann Γ I= B                                              (B)
23       Wenn Γ I= A, dann Γ I= A v B                                                                  (v E)  
24       Wenn Γ I= {A v B} und Γ U {A} I= C und Γ U {B} I= C, dann Γ I= C   (v B) 

Da sich mit WFT 14 1-Äquivalenz leicht auf 1-Implikation zurückführen lässt, wird auf die durchaus mögliche Angabe der WFT, mit deren Hilfe die WF-Korrektheit von ≡ E und ≡ B gezeigt werden kann, verzichtet. Beide Regeln werden deshalb auch generell i. F. nicht mehr berücksichtigt.

WFT zur leeren Satzmenge

25       ¬ =I Ø
26       I= B                                                    gdw =I Ø U {– B}
27       =I B                                                    gdw =I Ø U {B}  
28       I= B                                                    gdw Ø I= B  
29       =I B                                                    gdw Ø I= – B

WFT 25 bis 27 sind in dieser Reihenfolge zu beweisen. 25 ist in einer reductio ad absurdum zu beweisen, die letztlich auf die WFD zurückgreifen muss. Aus 25-27 ergeben sich mithilfe der grundlegenden WFT für 1-Implikation die für ND entscheidend wichtigen Theoreme 28 und 29

WFT über Vereinigung von Satzmengen und Teilmengen von Satzmengen

Auch bei den Beweisen dieser Theoreme sollte die Reihenfolge ihrer Auflistung beachtet werden.

30       Wenn Γ I= B, dann für jedes Δ und für jedes A, Γ U Δ I= B
31       Wenn Γ‘ Teilmenge von Γ ist und Γ‘ I= B, dann Γ I= B
32       Wenn Γ I= B und Δ I= B, dann =I {Γ U Δ}
33       Wenn =I Γ, dann für jedes Δ und für jedes A, =I Γ U Δ und =I Γ U {A}
34       Wenn Γ‘ Teilmenge von Γ ist und =I Γ‘, dann =I Γ
35       Wenn =I Γ, dann hat es eine Teilmenge Γ‘, so dass =I Γ‘
36       ¬ =I Γ, gdw. für jede Teilmenge Γ‘ von Γ, ¬ =I Γ‘
37       Wenn ¬ I= Γ U {B} I= A, dann ¬ =I Γ U {A, B}
38       Wenn ¬ =I Γ und es gibt ein Element Ai aus Γ, so dass A oder B = 1 für alle I,
            für die Ai = 1, dann ¬ =I Γ U {A} oder ¬ =I Γ U {B}

Wichtig für die Metalogik des Verzweigungsverfahrens sind 36, 37 und 38. Für die Metalogik von ND wird dann insbesondere auf 30, 31 und 34-36 zu achten sein.


Veröffentlicht von Lilith Dan 

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