Sonntag, 16. Oktober 2016

Metalogik: Elementare Metatheorie von PL.

Metalogik: Elementare Metatheorie von PL.

Die WF-Korrektheit der Ableitungsregeln ND.

Die Ableitungsregeln ND können als solche als ‚evidente‘ Voraussetzungen einfach angenommen werden. Es ist aber auch möglich, zu beweisen, dass sie ‚semantisch korrekt‘, d. h. semantisch als gültig zu rechtfertigen sind.
Eine Ableitungsregel ist semantisch gerechtfertigt, wenn gezeigt werden kann, dass das Ableitungsschema eine semantisch 1-wahre Implikation ist. Sind alle Ableitungsregeln korrekt, dann kann bis zu Anwendung stärkerer Beweismittel davon ausgegangen werden, dass auch jede Folge von Regelanwendungen korrekt ist.

Betrachtet man die allgemeine Struktur des Anfangssegmentes eines Beweises ND, nämlich

P

Γ


q

A

r


B


Dann ist die Annahmemenge der übergeordneten Ableitung Γ für alle Ableitungen auf Zeilen i, j, k, k+1, die Annahmemenge für alle Zeilen der ersten untergeordneten Ableitung Γ ∩ {A}, die der zweiten Γ ∩ {A, B}, usw., wofür man kurz Γ; Γ, A; Γ, A, B schreiben kann.
Wird angenommen, dass aus einer solchen Annahmemenge der Satz auf Zeilen i, j, k bereits nach Regeln ND abgeleitet wurde, so kann das als

iΓ I= P                        bzw. jΓ, A I- P

geschrieben werden. Folgt nun aus einer oder mehreren Zeilen dieser Art nach Regeln ND eine weitere Zeile, die immer als Zeile k+1 gezählt wird, dann kann das mit

k+1     Γ I- P bzw.                 k+1 Γ, A I- P

notiert werden.
Zeilen k sind dann für den jeweils letzten Schritt einer untergeordneten Ableitung reserviert. Man hat so die Möglichkeit, Schritte in Ableitungen auf der Metaebene in einer für die vorliegenden Zwecke praktischen Schreibweise, die Schreibweise für Gentzensequenzen, dazustellen. Die Wahl der Zeilenzählung ist durch Gesichtspunkte bestimmt, die später erläutert werden. Man kann zunächst Ableitungsregeln ND in dieser Schreibweise wie folgt darstellen:

Reiteration:
K+1     Γ I- Pk+1                                  Rj        (Pk+1 = Pj, Pj Є Γ)

& Einführung:
1          Γ I- P
M         Γ I- Q
K+1     Γ I- (P & Q) k+1                      oder: (Q & P) k+1                   & E 1, m

Einführung:
k          Γ, P I- Q
k+1     Γ I- (P Q) k+1                              E k


D-Definitionen und D-Theoreme
D-Eigenschaften und D-Relationen werden im System ND durch den Begriff der Ableitbarkeit auf der letzten Zeile eines formalen Beweises definiert. Die Restriktion von ND strikt vorausgesetzt. Den Definitionen und D-Theoremen entsprechen bestimmte WF-Theoreme.

D-Definitionen
1. Γ I- B gdw. B aus Γ
2. I- B gdw. Ø I-B
3. -I B gdw. Ø I- B
4. -I gdw. Γ I- -Aj, Aj Γ Є Γ
5. A I-I B gdw. I- A Ξ B

Die nicht-operationalen Definitionen für ¬ Γ I- B, ¬ I- B, ¬ -I B, ¬ A I-I B ergeben sich aus der Negation der rechten Seite der Definitionen 1-5. Dass die Definitionen wahrheitsfunktional korrekt sind, ergibt sich aus den zuzuordnenden WF-Theoremen.


D-Theoreme
DT für 1-wahr, 1-falsch und 1-inkonsistent
1. I- B gdw. -I – B
2. -I gdw. I- – B
3. Wenn I- B dann für jedes A, Γ: A I-B, Γ I- B
4. Wenn I- B dann B I- alle I- A und nur alle I- A
5. Wenn -I B, dann B I- jedes beliebige A
6. Wenn -I Γ, dann Γ I- jedes beliebige B
7. -I gdw. Γ I- B & – B

DT zur 1-Implikation
8. Wenn Γ I- B, dann Γ U {A} I- B und Γ U Δ I- B
9. Γ I- B gdw. I- Γ B
10. Γ I- B gdw. I- Γ U {– B}
11. Γ I- – B gdw. -I Γ U {B}

DT zur leeren Menge
12. ¬ -I Ø
13. I- B gdw. -I Ø U {– B}
14. -I B gdw. -I Ø U {B}

DT über Satzmengen
15. Wenn Γ‘ Teilmenge von Γ ist und Γ‘ I- B, dann Γ I- B
16. Wenn Γ I- B und Δ I- – B, dann Γ U Δ I- B & – B, somit -I Γ U Δ
17. Wenn -I Γ, dann -I Γ U Δ
18. Wenn Γ‘ Teilmenge von Γ ist und -I Γ‘. Dann -I Γ
19. ¬ -I Γ gdw. für jede Teilmenge Γ‘, ¬ -I Γ‘
20. Wenn -I Γ, dann hat es eine Teilmenge Γ‘, so dass -I Γ‘
21. Wenn ¬ -I Γ und Γ I- B, dann ¬ -I Γ U {B}


Veröffentlicht von Lilith Dan 

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