Montag, 3. Oktober 2016

Metalogik: Die semantische Vollständigkeit.

Metalogik: Die semantische Vollständigkeit.

Was bisher gesagt wurde, appelliert teilweise an die bloße Erfahrung, die man so bislang mit Wahrheitswerttafeln gemacht hat.
Die starke Vollständigkeit der Methode der Wahrheitswerttafeln für AL kann noch präziser durch Rückgriff auf den Nachweis der semantischen Vollständigkeit der Wahrheitswerttafeln gezeigt werden.
Semantische Vollständigkeit liegt vor, wenn die beiden folgenden Fragen mit ‚ja‘ beantwortet werden können:
1. Hat jeder Satz einen und nur einen Wahrheitswertverlauf?
2. Gibt es zu jedem Wahrheitswertverlauf mindestens einen Satz?

Frage (1) kann gleich bejaht werden, denn die Antwort ‚ja‘ ergibt sich unmittelbar aus: Zu jedem Satz ergibt sich ein und nur ein Wahrheitswertverlauf in einem Algorithmus.

Bleibt die Frage (2) und sie kann bejaht werden, wenn ebenfalls ein ihr zuzuordnender Algorithmus gefunden werden kann.

Zunächst kann gezeigt werden, dass zu jeder Interpretation der atomaren Komponenten, die Wahrheitswertfunktional auf den Wert 1 führen soll, z. b. für:
A1, A2, …An                                      die Werte                  1          0…1

ein Satz gebildet werden kann, der unter dieser Bewertung = 1 sein wird, nämlich:
A1 & - A2 …& An

Hat man nun eine Bewertung, die wahrheitswertfunktional auf 0 führen soll, so verfahre man ebenso, wähle dann aber irgendein Ai und füge der Konjunktion – Ai hinzu oder man wähle ein -Ai und füge ein Ai hinzu.
Diese Bewertungen führen auf 0 für die Interpretation.

Für jede Interpretation lässt sich somit ein Satz finden, der sie wahrmacht oder eine, der sie falsch macht. Die eigentliche Aufgabe besteht aber darin, einen Satz für beliebigen Wahrheitswertverlauf zu finden.
Es gilt, dass vollständige Wahrheitswertverläufe (1) nur ganz bestimmte Anzahlen von Interpretationen haben können, nämlich 16, 256 usw. und dass sich daraus (2) die Anzahl der atomaren Komponenten ergibt: 2, 3 usw.
Für jeden Wahrheitswertverlauf kann man, gegeben die Anzahl der atomaren Komponenten, die durch ihn festgelegt wird, für alle Interpretationen, die = 1 sind, eine Konjunktion nach (a) bilden und für alle, die = 0 haben, eine Konjunktion nach (b).
Bildet man nun eine Disjunktion aller dieser Konjunktionen, dann erhält man die erweiterte disjunktive Normalform, d. h. einen Satz, der dem gesamten Wahrheitswertverlauf zuzuordnen ist. In ihr kann man alle Gesamtdisjunktionen, die 0 im Wahrheitswertverlauf negieren.
Üblicherweise werden sie herausgestrichen, d. h. nicht aufgelistet, weil die Anzahl der Interpretationen, die = 0 sind, durch die Anzahl derer, die = 1 sind, unmittelbar bestimmt wird.
Eine leere disjunktive Normalform ist somit nach der WFD 2 falsch. Ergibt sich dagegen keine Interpretation, die nach dem Wahrheitswertverlauf auf 0 führen soll, so wird die disjunktive Normalform für alle Interpretationen ein Disjunkt haben. Der Satz ist somit 1-wahr.
Anzumerken ist, dass das Verzweigungsverfahren, aber auch ND + es erlaubt, disjunktive Normalformen zu Sätzen zu gewinnen, die jedoch erst zu disjunktiven Normalformen erweitert werden müssen.
Ist nun semantische Vollständigkeit gesichert, dann ergibt sich, dass nach Seiten der beiden Fragen Algorithmen gefunden werden können. Damit aber ist der algorithmische Charakter der Methode der Wahrheitswerttafeln gesichert und somit ist das Ergebnis voll gerechtfertigt.


Veröffentlicht von Lilith Dan 

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