Sonntag, 2. Oktober 2016

Metalogik: Der Formalismus der Wahrheitswerttafeln.

Metalogik: Der Formalismus der Wahrheitswerttafeln.

Zu erinnern ist an die Definition der Wahrheitswertfunktion, der Interpretation I, des Wahrheitswertverlaufs unter allen Interpretationen
Weiter ist zu erinnern, dass sich die Zahl der möglichen Interpretationen, d. h. der Anzahl der Kombinationen von Werten 0 oder (excl.) 1 für alle atomaren Komponenten bestimmt wird durch die Formel: 

2 hoch 2 hoch n

in der 2 die Anzahl der Wahrheitswerte ist und n die Anzahl der atomaren Komponenten.
Es lässt sich damit schnell zeigen, dass die Anzahl der möglichen Wahrheitswertfunktionen bei einer Komponente 4, bei zwei 16, bei drei 256 und bei vier 65536 betragen wird.
Es gilt aber, dass diese Anzahl bei einer endlichen Anzahl von Komponenten immer endlich sein wird.
Einstellige Konnektive werden als die Interpretationen von 1, 0 durch 1, 0 für die nicht markierte Affirmation und die Interpretation 0, 1 für die Negation -A definiert. Die beiden Grenzfälle 1, 1 und 0, 0 sind der Ort, ebenso wie zwei und mehr atomaren Komponenten, für 1-Wahrheit und 1-Falschheit.

Von den 16 möglichen Wahrheitswertfunktionen für zwei atomare Komponenten werden nur fünf für die Definition zweistelliger Konnektive benutzt. Unter diesen kann auf das Bikonditional verzichtet werden, da es, wie seine Wahrheitswertfunktion zeigt, durch einen Ausdruck ‚&‘ und ‚‘ ersetzt werden kann. Es zeigt sich aber weiter, dass auch die Wahrheitswertfunktionen, die durch ‚‘ und auch Kombinationen von ‚‘ und ‚-‚ bestimmt werden, durch ‚v‘ und ‚&‘ und ‚-‚ oder durch ‚&‘ und ‚-‚ ersetzt werden können. Die wwf-Beweise für die Gesetze des Morgan und der Definition des Konditionals und des negierten Konditionals bringen diese Transformationen zum Ausdruck.
Die Sätze der Aussagenlogik haben, grammatisch gesehen, endliche Länge und damit a fortiori eine endliche Anzahl von Komponenten. Der Begriff der Wahrheitswertfunktion selbst schließt aus, dass der Wert von untergeordneten Komponenten immer ausschließend 1 oder 0, tertium non datur sein kann, und dass keine Wahrheitswertfunktion die den Wert der übergeordneten Komponente bestimmt, andere Werte als ausschließend 1 oder 0, tertium non datur, zugeordnet wird. Aus beiden ergibt sich nun, dass:
(1) Bei endlicher Anzahl der Komponenten für jede Interpretation der atomaren Komponenten nach einer endlichen Reihe von Schritten ein Wahrheitswert 0 oder 1, nicht beide, tertium non datur herauskommen wird
und
(2) der Wahrheitswertverlauf aller möglichen Interpretationen in einer endlichen Reihe von Schritten bestimmt werden kann, da die Anzahl der Interpretationen und die Länge der Sätze endlich ist
und
(3) die 1-Eigenschaften und 1-Relationen so definiert sind, dass über ihr Vorliegen oder Nichtvorliegen nach Eigenschaften des Wahrheitswertverlaufs eindeutig ja/nein entschieden werden kann.

Aus (1) – (3) folgt nun (4), dass das Verfahren genau die Eigenschaft eines Algorithmus hat, die es erlauben, das Verfahren als ‚stark vollständig‘ zu beschreiben. Jede vorgelegte Frage – nach Vorliegen oder Nicht-Vorliegen logischer Eigenschaften und Relationen – wird nach einer endlichen Reihe von Schritten mit ‚ja‘ oder (excl.) mit ‚nein‘ beantwortet.
Diese Feststellung gilt nun für AL denn die Sätze PL sind wegen der nicht endlichen Menge der Einsetzungen in quantifizierte Sätze von unendlicher Länge.


Veröffentlicht von Lilith Dan 

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